Пусть тело совершает два гармонических колебания во заимно перпендикулярных плоскостях, тогда уравнения колебаний

x = A cos( ω1 t )

y = B cos( ω2 t + φ )

Где A амплитуда колебания в плоскости x-z и B амплитуда колебания в плоскости у-z, ω1 и ω2 собственные частоты этих колебаний, φ - разность фаз этих колебаний.

Математическая модель сложения гармонических колебаний

Амплитуда A = м
Амплитуда B = м
Частота колебаний ω1 = рад/с
Частота колебаний ω2 = рад/с
Разность фаз φ = рад

Математический маятник (шарик подвешенный на нити) не сможет совершать два колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях с разными частотами. Задайте для модели ω1 = 3, ω2 = 0 и представьте что шарик качается над столом. Теперь задайте ω1 = 0, ω2 = 3 и представьте что шарик неподвижно висит над столом, а стол под ним совершает упругие гармонические колебания. Теперь задайте ω1 = 2, ω2 = 6 - шарик совершает свои колебания вдоль оси X, стол колеблется вдоль оси Y, а мы наблюдаем картину сложения колебаний.

Замкнутые траектории, описываемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Поэкспериментируйте с φ=1.57 (π/2). y = B cos( ω2 t + π/2 ) = B sin( ω2 t ). Задайте ω1 = ω2. Задайте φ=4.71

Проанализируйте. Нарисуйте на бумаге фигуру Лиссажу (сначала попроще, например, ω1 = 3 ω2 =2). Проведите вертикальную и горизонтальную линии через фигуру Лиссажу. Обратите внимание, вертикальная линия пересекает линию Лиссажу ω1 раз, а горизонтальная линя пересекает линию Лиссажу ω2 раза.

Код математической модели сложения гармонических колебаний написан на JavaScript, понятен и пригоден для моделирования многих физических процессов.

<script language="javascript" type="text/javascript">
//Определение переменных
t=0
dt=0.01
Pi=Math.PI
X = 0;
Y = 0;
A = 200;
B = 200;
w1 = 3;
w2 = 5;
fi = 0;

//Запуск бесконечного цикла вычисления координат шарика
setInterval("animate()", 20);

//Перемещение шарикa
function animate()
{
t+=dt;
X=A*Math.cos(w1*t);
Y=B*Math.cos(w2*t+parseFloat(fi));
dot1.style.left = X;
dot1.style.top =  Y;
}
</script>

График функции суммы взаимно перпендикулярных гармонических колебаний рисует в HTML элементе <canvas id=cnvs> небольшая программа написанная на JavaScript.

<script language="javascript" type="text/javascript">
//Определение переменных
t=0
dt=0.01
Pi=Math.PI
X = 0;
Y = 0;
A = 200;
B = 200;
w1 = 3;
w2 = 5;
fi = 0;

// Фигура Лиссажу
cnvs=document.getElementById("cnvs").getContext("2d");
cnvs.strokeStyle="blue";
cnvs.beginPath();
  for (t=0; t<w1+w2; t+=dt)
  {
    X=A*Math.cos(w1*t);
    Y=B*Math.cos(w2*t+parseFloat(fi));
    cnvs.lineTo(X,Y);
  }
cnvs.stroke();
</script>