Решетом Эратосфена называют алгоритм нахождения всех простых чисел из ограниченного сверху ряда натуральных чисел.
В программе листинг 1 и далее, прежде чем применять алгоритм, названный решетом Эратосфена, определяем переменную n. n - верхняя граница поиска простых чисел.
Создаём список seive размером n+1, где все элементы, кроме первых двух имеют значение True. Предположим, что элемент со значением True имеет номер (индекс), являющийся простым числом. Так оно и есть в начале списка seive. Индексы 1, 2, и 3 элементов этого списка являются простыми числами.
Функция поиска простых чисел, назовём её prime_numbers, должна отбраковывать те элементы списка seive чей номер делится нацело на другое число. Элементу, чей номер делится нацело на другое число будет присвоено значение False.
Для вывода на печать будем использовать индексы тех элементов списка, созданного функцией prime_numbers, которые имеют значение True.
Также нам понадобится функция timeit() из библиотеки timeit для оценки производительности нашего алгоритма.
# Импортируем функцию timeit из модуля timeit для измерения времени выполнения кода
from timeit import timeit
# Напишем функцию поиска простых чисел из числовой последовательности от 2 до n
n = 1000
def prime_numbers(n):
"""
Реализация алгоритма "Решето Эратосфена" (Sieve of Eratosthenes)
для нахождения простых чисел в диапазоне от 2 до n.
Args:
n Максимальное натуральное число, до которого продолжается поиск.
Returns:
sieve Список из n элементов, где значением True отмечен элемент с простым индексом.
"""
# Создадим список sieve длинной n+1 с инициализацией флагами True и False.
# Это необходимо для работы алгоритма "Решето Эратосфена".
sieve = [False] * 2 + [True] * (n - 1) # Флаг True, предположительно простое число.
for i in range(2, n): # Переберем числа от 2 до n.
for j in range(i + 1, n + 1): # Переберем числа от i+1 до n+1.
if j % i == 0: # Если j делится без остатка на i:
sieve[j] = False # установим флаг в False для элемента sieve[j].
return sieve
se = prime_numbers(n) # Вызовем функцию prime_numbers с параметром n для получения
# решета Эратосфена с отмеченными простми числами.
# Выводим простые числа:
for i, val in enumerate(se): # Переберем элементы списка se
if val: # Если флаг элемента se[i] из списка se равен True:
print(i, end=' ') # Выведем число i и разделитель (пробел)
print('\nRun 1000 tests...') # Выводим сообщение о начале тестов.
# Вызываем функцию timeit 1000 раз для точного измерения времени выполнения функции sieve
print(timeit(globals=globals(), stmt='prime_numbers(n)', number=1000),
'мс на одно выполнение функции при n = {}'.format(n))
Лист. 1. Алгоритм поиска простых чисел.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
Run 1000 tests...
14.616583066999738 мс на одно выполнение функции при n = 1000Лист. 2. Результат работы программы листинг 1.
Результат теста, представленный на листинге 2, получен на процессоре AMD Ryzen™ 7 5700U.
# Импортируем функцию timeit из модуля timeit для измерения времени выполнения кода
from timeit import timeit
# Напишем функцию поиска простых чисел из числовой последовательности от 2 до n
n = 1000
def prime_numbers(n):
"""
Реализация алгоритма "Решето Эратосфена" (Sieve of Eratosthenes)
для нахождения простых чисел в диапазоне от 2 до n.
Args:
n Максимальное натуральное число, до которого продолжается поиск.
Returns:
sieve Список из n элементов, где значением True отмечен элемент с простым индексом.
"""
# Создадим список sieve длинной n+1 с инициализацией флагами True и False.
# Это необходимо для работы алгоритма "Решето Эратосфена".
sieve = [False] * 2 + [True] * (n - 1) # Флаг True, предположительно простое число.
for i in range(2, n): # Переберем числа от 2 до n.
# Если число i (делитель) простое (sieve[i] == True), то можно продолжать поиск.
if sieve[i]:
for j in range(i + 1, n + 1): # Переберем числа от i+1 до n+1.
if j % i == 0: # Если j делится без остатка на i:
sieve[j] = False # установим флаг в False для элемента sieve[j].
return sieve
se = prime_numbers(n) # Вызовем функцию prime_numbers с параметром n для получения
# решета Эратосфена с отмеченными простми числами.
# Выводим простые числа:
for i, val in enumerate(se): # Переберем элементы списка se
if val: # Если флаг элемента se[i] из списка se равен True:
print(i, end=' ') # Выведем число i и разделитель (пробел)
print('\nRun 1000 tests...') # Выводим сообщение о начале тестов.
# Вызываем функцию timeit 1000 раз для точного измерения времени выполнения функции sieve
print(timeit(globals=globals(), stmt='prime_numbers(n)', number=1000),
'мс на одно выполнение функции при n = {}'.format(n))
Лист. 3. Алгоритм поиска простых чисел.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
Run 1000 tests...
2.7067804310008796 мс на одно выполнение функции при n = 1000Лист. 4. Результат работы программы листинг 3.
# Импортируем функцию timeit из модуля timeit для измерения времени выполнения кода
from timeit import timeit
# Напишем функцию поиска простых чисел из числовой последовательности от 2 до n
n = 1000
def prime_numbers(n):
"""
Реализация алгоритма "Решето Эратосфена" (Sieve of Eratosthenes)
для нахождения простых чисел в диапазоне от 2 до n.
Args:
n Максимальное натуральное число, до которого продолжается поиск.
Returns:
sieve Список из n элементов, где значением True отмечен элемент с простым индексом.
"""
# Создадим список sieve длинной n+1 с инициализацией флагами True и False.
# Это необходимо для работы алгоритма "Решето Эратосфена".
sieve = [False] * 2 + [True] * (n - 1) # Флаг True, предположительно простое число.
for i in range(2, int(n ** 0.5)): # Переберем числа от 2 до √n.
# Если число i (делитель) простое (sieve[i] == True), то можно продолжать поиск.
if sieve[i]:
for j in range(i + 1, n + 1): # Переберем числа от i+1 до n+1.
if j % i == 0: # Если j делится без остатка на i:
sieve[j] = False # установим флаг в False для элемента sieve[j].
return sieve
se = prime_numbers(n) # Вызовем функцию prime_numbers с параметром n для получения
# решета Эратосфена с отмеченными простми числами.
# Выводим простые числа:
for i, val in enumerate(se): # Переберем элементы списка se
if val: # Если флаг элемента se[i] из списка se равен True:
print(i, end=' ') # Выведем число i и разделитель (пробел)
print('\nRun 1000 tests...') # Выводим сообщение о начале тестов.
# Вызываем функцию timeit 1000 раз для точного измерения времени выполнения функции sieve
print(timeit(globals=globals(), stmt='prime_numbers(n)', number=1000),
'мс на одно выполнение функции при n = {}'.format(n))Лист. 5. Алгоритм поиска простых чисел.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 961 967 971 977 983 991 997
Run 1000 tests...
0.2878135430000839 мс на одно выполнение функции при n = 1000Лист 6. Результат работы программы листинг 5.
# Импортируем функцию timeit из модуля timeit для измерения времени выполнения кода
from timeit import timeit
# Напишем функцию поиска простых чисел из числовой последовательности от 2 до n
n = 1000
def prime_numbers(n):
"""
Реализация алгоритма "Решето Эратосфена" (Sieve of Eratosthenes)
для нахождения простых чисел в диапазоне от 2 до n.
Args:
n Максимальное натуральное число, до которого продолжается поиск.
Returns:
sieve Список из n элементов, где значением True отмечен элемент с простым индексом.
"""
# Создадим список sieve длинной n+1 с инициализацией флагами True и False.
# Это необходимо для работы алгоритма "Решето Эратосфена".
sieve = [False] * 2 + [True] * (n - 1) # Флаг True, предположительно простое число.
for i in range(2, int(n ** 0.5)): # Переберем числа от 2 до √n.
# Если число i (делитель) простое (sieve[i] == True), то можно продолжать поиск.
if sieve[i]:
for j in range(i * i, n + 1): # Переберем числа от i*i до n+1.
if j % i == 0: # Если j делится без остатка на i:
sieve[j] = False # установим флаг в False для элемента sieve[j].
return sieve
se = prime_numbers(n) # Вызовем функцию prime_numbers с параметром n для получения
# решета Эратосфена с отмеченными простми числами.
# Выводим простые числа:
for i, val in enumerate(se): # Переберем элементы списка se
if val: # Если флаг элемента se[i] из списка se равен True:
print(i, end=' ') # Выведем число i и разделитель (пробел)
print('\nRun 1000 tests...') # Выводим сообщение о начале тестов.
# Вызываем функцию timeit 1000 раз для точного измерения времени выполнения функции sieve
print(timeit(globals=globals(), stmt='prime_numbers(n)', number=1000),
'мс на одно выполнение функции при n = {}'.format(n))
Лист. 7. Алгоритм поиска простых чисел.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 961 967 971 977 983 991 997
Run 1000 tests...
0.22906713199881779 мс на одно выполнение функции при n = 1000Лист. 8. Результат работы программы листинг 7.
# Импортируем функцию timeit из модуля timeit для измерения времени выполнения кода
from timeit import timeit
# Напишем функцию поиска простых чисел из числовой последовательности от 2 до n
n = 1000
def prime_numbers(n):
"""
Реализация алгоритма "Решето Эратосфена" (Sieve of Eratosthenes)
для нахождения простых чисел в диапазоне от 2 до n.
Args:
n Максимальное натуральное число, до которого продолжается поиск.
Returns:
sieve Список из n элементов, где значением True отмечен элемент с простым индексом.
"""
# Создадим список sieve длинной n+1 с инициализацией флагами True и False.
# Это необходимо для работы алгоритма "Решето Эратосфена".
sieve = [False] * 2 + [True] * (n - 1) # Флаг True, предположительно простое число.
for i in range(2, int(n ** 0.5)): # Переберем числа от 2 до √n.
# Если число i (делитель) простое (sieve[i] == True), то можно продолжать поиск.
if sieve[i]:
for j in range(i * 2, n + 1, i):# Переберем числа от i*2 с шагом i.
sieve[j] = False # установим флаг в False для элемента sieve[j].
return sieve
se = prime_numbers(n) # Вызовем функцию prime_numbers с параметром n для получения
# решета Эратосфена с отмеченными простми числами.
# Выводим простые числа:
for i, val in enumerate(se): # Переберем элементы списка se
if val: # Если флаг элемента se[i] из списка se равен True:
print(i, end=' ') # Выведем число i и разделитель (пробел)
print('\nRun 1000 tests...') # Выводим сообщение о начале тестов.
# Вызываем функцию timeit 1000 раз для точного измерения времени выполнения функции sieve
print(timeit(globals=globals(), stmt='prime_numbers(n)', number=1000),
'мс на одно выполнение функции при n = {}'.format(n))
Лист. 9. Алгоритм поиска простых.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 961 967 971 977 983 991 997
Run 1000 tests...
0.030209978000129922 мс на одно выполнение функции при n = 1000Лист. 10. Результат работы программы листинг 9.
# Импортируем функцию timeit из модуля timeit для измерения времени выполнения кода
from timeit import timeit
# Напишем функцию поиска простых чисел из числовой последовательности от 2 до n
n = 1000
def prime_numbers(n):
"""
Реализация алгоритма "Решето Эратосфена" (Sieve of Eratosthenes)
для нахождения простых чисел в диапазоне от 2 до n.
Args:
n Максимальное натуральное число, до которого продолжается поиск.
Returns:
sieve Список из n элементов, где значением True отмечен элемент с простым индексом.
"""
# Создадим список sieve длинной n+1 с инициализацией флагами True и False.
# Это необходимо для работы алгоритма "Решето Эратосфена".
sieve = [False] * 2 + [True] * (n - 1) # Флаг True, предположительно простое число.
for i in range(2, int(n ** 0.5)): # Переберем числа от 2 до √n.
# Если число i (делитель) простое (sieve[i] == True), то можно продолжать поиск.
if sieve[i]:
for j in range(i * i, n + 1, i):# Переберем числа от i*2 с шагом i.
sieve[j] = False # установим флаг в False для элемента sieve[j].
return sieve
se = prime_numbers(n) # Вызовем функцию prime_numbers с параметром n для получения
# решета Эратосфена с отмеченными простми числами.
# Выводим простые числа:
for i, val in enumerate(se): # Переберем элементы списка se
if val: # Если флаг элемента se[i] из списка se равен True:
print(i, end=' ') # Выведем число i и разделитель (пробел)
print('\nRun 1000 tests...') # Выводим сообщение о начале тестов.
# Вызываем функцию timeit 1000 раз для точного измерения времени выполнения функции sieve
print(timeit(globals=globals(), stmt='prime_numbers(n)', number=1000),
'мс на одно выполнение функции при n = {}'.format(n))
Лист. 11. Алгоритм поиска простых.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 961 967 971 977 983 991 997
Run 1000 tests...
0.02723453100043116 мс на одно выполнение функции при n = 1000Лист. 12. Результат работы программы листинг 9.
Тимофей Хирьянов, МФТИ, Информатика. Алгоритмы и структуры данных на Python 3. Лекция 5. Решето Эратосфена (в конце лекции).
Источники:
Тимофей Хирьянов, Решето Эратосфена
Llama3, модель AI
