Рассматриваются перестановки, размещения, сочетания, деревья перестановок, кодирование сочетаний.

Основные определения и понятия

Перестановки (Permutations)

Определение: Упорядоченные arrangements из n различных элементов.

Формула:

• Без повторений: Pₙ = n! = n×(n-1)×...×2×1

• С повторениями: P(n₁,n₂,...,nₖ) = n!/(n₁!n₂!...nₖ!), где n₁+n₂+...+nₖ = n

Пример: Перестановки букв в слове "Миссисипи" (1 "м", 4 "и", 3 "с", 1 "п"):
P(4,3,1,1) = 9!/(4!3!1!1!) = 2520

Размещения (Arrangements)

Определение: Упорядоченные выборки из n элементов по m (m ≤ n). Учитывается и состав, и порядок элементов.

Формула:
Aₙᵐ = n!/(n-m)!

Сочетания (Combinations)

Определение: Неупорядоченные выборки из n элементов по m (m ≤ n). Учитывается только состав, порядок не важен.

Формула:
Cₙᵐ = n!/(m!(n-m)!)

Представление: Сочетаниям соответствуют двоичные последовательности длины n с m единицами.

Классификация комбинаторных задач на разбиение

Ключевые факторы различия:

1. Порядок элементов в группах (важен/не важен)

2. Порядок самих групп (важен/не важен)

3. Различимость элементов (различимы/неразличимы)

4. Различимость групп (различимы/неразличимы)

5. Допустимость пустых групп (да/нет)

Систематизация рассмотренных задач

Задача 1: Раскладка по ящикам

• Элементы: различимы

• Группы: различимы (ящики пронумерованы)

• Порядок в группах: не важен

• Размеры групп: фиксированы (n₁, n₂, ..., nₖ)

Формула: P(n₁,n₂,...,nₖ) = n!/(n₁!n₂!...nₖ!)

Задача 2: Перестановки с повторениями

• Элементы: частично неразличимы (типы)

• Порядок: важен

Эквивалентность: Задаче 1 через соответствие "места → типы элементов"

Задача 3: Флаги на мачтах

• Элементы: различимы (флаги)

• Группы: различимы (мачты)

• Порядок в группах: важен

• Пустые группы: допустимы

Формула: n! × Cₙ₊ₖ₋₁ᵏ⁻¹ = Aₙ₊ₖ₋₁ⁿ

Статистики в физике

Задачи на разбиение чисел

Ключевое различие: Учет/неучет порядка слагаемых

Задача 4-5: Наклейка марок (порядок важен)

Рекуррентное соотношение:
f(N) = f(N-a₁) + f(N-a₂) + ... + f(N-aₖ)

Начальные условия:

• f(0) = 1 (единственный способ - не клеить марки)

• f(N) = 0 при N < 0

Частный случай: Разбиение на слагаемые 1,2,...,k

φ(k;N) = φ(k;N-1) + φ(k;N-2) + ... + φ(k;N-k)

Упрощенная формула: φ(N;N) = 2ᴺ⁻¹

Пример: Число 5 имеет 2⁴ = 16 разбиений на натуральные слагаемые с учетом порядка.

Комбинаторные структуры представления

Деревья перестановок

• Корень → висячая вершина: одна перестановка

• Число висячих вершин = n!

• Ярусы соответствуют позициям в перестановке

Двоичное кодирование сочетаний

• Длина последовательности: n

• Число единиц: m

• Единица на позиции i ⇔ элемент i включен в сочетание

Приложения в теории информации

Задача 6: Передача сообщений

• Сигналы длительностей t₁, t₂, ..., tₖ

• Время передачи: T

• Учитываются только максимальные сообщения

Рекуррентное соотношение:
f(T) = f(T-t₁) + f(T-t₂) + ... + f(T-tₖ)

Начальные условия:

• f(0) = 1

• f(T) = 0 при T < 0

Методологические принципы решения

1. Четкое определение типа задачи по пяти ключевым факторам

2. Установление эквивалентностей между различными формулировками

3. Использование рекуррентных соотношений для задач с натуральными параметрами

4. Применение комбинаторных интерпретаций (деревья, последовательности)

5. Проверка граничных условий и тривиальных случаев

Это систематическое изложение позволяет классифицировать практически любую комбинаторную задачу на разбиение и выбрать адекватный метод решения.

Си

Рассматривается установка последней версии Python на Linux (Ubuntu, Debian, Raspberry и т. п.) из исходных кодов. Вы можете загрузить последнюю версию Python с сайта python.org

Ингредиенты: куриное филе, лук репчатый, перец болгарский, кабачок, стебель сельдерея, листья базилика, перец чёрный молотый, перец красный острый молотый,  перец розовый горошек острый молотый без косточки (шинус), зира, листья базилика сушёные, соль, подсолнечное масло рафинированное, лаваш армянский, листья салата, кетчуп болгарский, кетчуп острый, майонез.

Ингредиенты: Бульон с куриными ножками и крылышками, морковь, картофель, капуста, соль, перец горошек толчёный, куркума (жёлтый кари), лавровый лист, уксус.

Ингредиенты: фарш говяжий со свининой, кусочек айвы, овсяные хлопья (геркулес).

Ингредиенты: мука пшеничная, мука гречневая, картофельное пюре сухое, молоко, куриные яйца, сливочное масло, подсолнечное масло, сахар, соль, сода, фарш говядина со свининой, лук репчатый, паприка красная крошка, перец молотый белый горошек.

Ингредиенты: Яйцо куриное, масло подсолнечное, соль, паприка.

Ингредиенты: фарш говяжий, овсяные хлопья (геркулес).

Ингредиенты: бульон из крыла индейки, горох, свинина копчёная, , морковь, картошка, укроп, паприка красная молотая, куркума (жёлтый кари), лавровый лист, соль.

Ингредиенты: картошка, яйцо куриное, укроп, паприка красная молотая, куркума (жёлтый кари), соль, подсолнечное масло.

Ингредиенты: красное мясо индейки, фасоль, морковь, картошка, томатный сок или паста, стебли молодого укропа, паприка красная молотая, куркума (жёлтый кари), лавровый лист, соль, острый красный перец стручковой.

Ингредиенты: Мясо индейки (не диетическое), свиной бекон, свекла, морковь, капуста белокочанная, картофель, помидоры маринованные в собственном соку (по армянски), уксус, подсолнечное масло, лавровый лист, перец горошек молотый (лучше толчёный), чеснок, острый красный перец, стебли и листья молодого укропа. 

Ингредиенты: мука пшеничная, картофельное пюре сухое, молоко, куриные яйца, сливочное масло, подсолнечное масло, сахар, соль, сода, картофель, лук репчатый, укроп, лавровый лист, куркума.

Ингредиенты: ракушки крупные, куриный бульон, фарш из говядины и свинины, морковь, перец болгарский, лук, укроп, лавровый лист, белый молотый перец горошек, куркума.

Ингредиенты: куриная грудка, свиное сало или нарезка бекона, бульон из курицы, лук, морковь, перец болгарский, картошка, айва, соль, розмарин, паприка красная, куркума (жёлтый кари), аджика, майонез.